组合数学 - 标签 - 菠菜眾長

石子阵列（组合数学）

Lruihao — Fri, 10 Aug 2018 22:11:00 +0000

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/157/A
来源：牛客网

题目描述

xb 有 m 种石子，每种无限个，Ta 想从这些石子中取出 n 个，并按顺序排列起来，为了好看，相邻的石子不能相同。xb 想知道有多少种排列的方法。

输入描述：

第一行有两个正整数 n，m。

输出描述：

第一行一个整数，表示在 m 种石子中取出 n 个的排列方案数模 1000000007 后的值。

示例 1

输入

1 1

输出

示例 2

输入

2 3

输出

示例 3

输入

3 3

输出

备注：

对于 100%的测试数据：
1 ≤ n, m ≤ 1000
数据量较大，注意使用更快的输入输出方式。

水题。

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#include
using namespace std;

int main(){
    long long n,m,ans;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ans=m;
    for(int i=1;i<n;i++)
        ans=(ans*(m-1))%1000000007;
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

Dreamoon and WiFi（组合数学）

Lruihao — Fri, 10 Aug 2018 17:44:47 +0000

题目链接

题目大意

就是给定两个字符串，第一个字符串由"+","-“组成，第二个字符串由”+","-","?“组成，“+”代表加 1，”-“代表减一，“?“代表可取正也可取负，问第二个字符串的位置和第一个字符串相等的概率是多少。

我一开始的想法是把（+1，-1）^n 看成和二项式定理一样的展开始式，只不过把乘法改为加法，然后得到公式
c(n,0)(n+(-1)0)+c(n,1)(n-1+(-1)1)+c(n,i)(n-i+(-1)i)+...+c(n,n)(n-n+(-1)n)
化简一下可知通项为c(n,i)(n-2*i)
然后我对第一个串求出位置 sum, 第二个串先求出已知位置 sum1，然后记录下？的个数，然后遍历找出展开式中某一项 n-2i+sum1==sum，这样 x 的系数就是可能出现位置相等的所有情况，用 (n-2i)/系数和就是概率了啊，可是为什么不对呢，本地调试，数据没问题，可是交到 cf 上第二组都过不了，烦亏我还觉得想到一个独辟的方法呢，过不了。

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//cf 错误报告，思前恐后不晓得 why,wtf??? 先码着吧
Test: #2, time: 0 ms., memory: 0 KB, exit code: 0, checker exit code: 1, verdict: WRONG_ANSWER
Input
+-+-
+-??
Output
-0.000000000000
Answer
0.500000000000
Checker Log
wrong answer 1st numbers differ - expected: '0.5000000', found: '-0.0000000', error = '0.5000000'

错误代码

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#include
using namespace std;

int main(){
    int i,j,cnt=0;
    long long c[11][11],sum=0,sum1=0;
    for(i = 0; i < 11; i++){//杨辉三角
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
        for(j = 1; j < i; j++)
            c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
    }
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    //cout<    int len=a.length();
    for(i=0;i<len;i++)
        if(a[i]=='+') sum+=1;
        else sum-=1;
    for(i=0;i<b.length();i++){
        if(b[i]=='+') sum1+=1;
        else if(b[i]=='-')sum1-=1;
        if(b[i]=='?') cnt++;
    }
    if(sum==sum1&&cnt==0){
        printf("1.000000000000\n");
        return 0;
    }
    int flag=0;
    int x=0;
    for(j=0;j<=cnt;j++)
        x+=c[cnt][j];
        //cout<    for(i=0;i<=cnt;i++)
        if(cnt-2*i+sum1==sum){
            flag=1;
            long double y=c[cnt][i]*1.0/x;
            printf("%.12llf\n",y);
        }
    if(!flag)printf("0.000000000000\n");
	return 0;
}

想不通，没办法只好换思路。

我先分别记下 a,b 串的’+’,’-’,’?‘个数，然后后我们很容易知道，如要 a,b 位置相等，则加号和减号的数目，两串要相等，且 a 中的加号要比 b 中已知的加号要多，减号也要比 b 中已知的要多，否则打死都不会相等的，仔细比划一下就知道了。然后有 z 个‘?’，相当于有 z 个坑，让我们去填使得 a,b 相等。只能填+或-，设加号差等于 x-p, 所以概率就等于 c(z,x-p)/2^z。

AC 代码

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#include
using namespace std;

int main(){
    string a,b;
    int  x,y,z,p,q,c[11][11],i,j;
    for(i = 0; i < 11; i++){
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
        for(j = 1; j < i; j++)
            c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
    }

    cin>>a;
    cin>>b;
    x=y=z=p=q=0;
    for(i=0;i<a.length();i++)
        if(a[i]=='+') x++;
        else y++;
    for(i=0;i<b.length();i++){
        if(b[i]=='+') p++;
        else if(b[i]=='-') q++;
        else z++;
    }
    if(x==p&&z==0){
        printf("1.000000000000\n");
        return 0;
    }
    if(x-p<0||y-q<0) {
        printf("0.000000000000\n");
        return 0;
    }
    x=x-p;
    printf("%0.12f",c[z][x]*1.0/(2<<(z-1)));
    return 0;
}

几分钟写完后面的代码，心中一万头草泥马在奔腾。

Codeforces Round 502(Div.1 + Div.2)

Lruihao — Thu, 09 Aug 2018 10:48:00 +0000

A. The Rank

题目大意：
给出 n 个学生的成绩，Thomas Smith 的成绩是第一行，然后要按总成绩进行排序，总分相同的按编号从小到大排；
开始看还以为要写 sort 的 cmp 函数进行多条件排序，敲完才发现其实只要按总分就可以了，因为托马斯的 id 是一，必然会排在前面。

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#include
using namespace std;

int a[4],sum[1005];

int main(){
    int n,s,f1;
    cin>>n;
    for(int j=1;j<=n;j++){
        s=0;
        for(int i=0;i<4;i++){
            cin>>a[i];
            s+=a[i];
        }
        sum[j]=s;
        if(j==1) f1=s;
    }
    sort(sum+1,sum+n+1,greater<int>());

    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(sum[i]==f1){
            cout<<i<<endl;
            break;
        }
	return 0;
}

B. The Bits

题目大意：
先给出二进制数的长度，然后输入两个二进制数 a,b，问交换 a 中的某些位数的数，使得 a|b（按位或）的结果不同，求有多少种不同的或值。

a,b 上下对应的情况：a/b	个数
1/0	m
0/0	n
1/1	x
0/1	y

用组合数学的思想来想：
只要看 b 为 0 的位就行了，如果 0/0,a 只能换 1 的位置，为了避免重复，所以这里总数为n*x,
再考虑 1/0 的情况，只能和 0 的位置换，这是后可以把 0/0 没算的都算上，所以总数m*(n+y)
所以最后总数为sum=n*x+m*(n+y)

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#include
using namespace std;

int main(){
    long long n,m,x,y,t;
    n=m=x=y=0;
    char a[100005],b[100005];
    cin>>t;
    cin>>a>>b;
    for(int i=0;i<t;i++){
        int p=a[i]-'0';
        int q=b[i]-'0';
        if(p==0&&q==0) n++;
        if(p==1&&q==0) m++;
        if(p==1&&q==1) x++;
        if(p==0&&q==1) y++;
    }
    long long sum=n*x+m*(y+n);
    cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

Wannafly 挑战赛 18-序列

Lruihao — Wed, 18 Jul 2018 08:40:21 +0000

时间限制：C/C++ 1 秒，其他语言 2 秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言 524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

有一个长度为 n 的序列 a，已知 a[1]=a[n]=1，且对于 2 <= x <= n，a[x] / a[x-1] 是以下三个数字之一 [ 1，-2，0.5 ], 问有多少种不同的序列满足题意。
两个序列不同当且仅当它们有至少一个位置上的数字不同，序列 a 可以为任何实数。

输入描述：

一个整数表示 n (1<= n <= 1e3)

输出描述：

一个整数表示答案模 109+7

示例 1

输入

5 输出

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解题思路：
整体来看，a[x] = a[x-1] _ [1, -2, 0.5]，那么等于从 n-1 个 [1,-2,0.5] 中选出 n-1 个数值相乘（a[x-1]=a[x-2] _ [1,-2,0.5] 同理化简式子），
最后答案要是 1，所以-2 就必须有偶数个，同理 0.5 的个数要等于-2. 顺序无关。那所有的转换中，就只要保证有若干组 (-2,-2,0.5,0.5) 存在

表示偶数个 2 的个数与偶数个 0.5 的个数组合；组合数用二项式系数，杨辉三角来求。

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#include 
using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
long long c[maxn][maxn];

int main(){
    for(int i = 0; i < maxn; i++){//杨辉三角
        c[i][0] = 1;
        c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++)
            c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]) % mod;
    }
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)){
        n--;
        long long ans = 0;
        for(int i = 0; i*2 <= n; i += 2){
            ans = (ans%mod + (c[n][i]*c[n-i][i])%mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}